m_2x(i)=E［x(n)x(n i)］　　(4)

m_3x(i,j)=E［x(n)x(n i)x(n j)］　　(5)

m_4x(i,j,k)=E［x(n)x(n i)x(n j)x(n k)］　　(6)

　　若x(n)为零均值平稳随机过程，则其二阶累计量、三阶累计量、四阶累计量分别定义为

c_2x(i)=m_2x(i)　　(7)

c_3x(i,j)=m_3x(i,j)　　(8)

c_4x(i,j,k)=m_4x(i,j,k)-m_2x(i)m_2x(j-k)-m_2x(j)m_2x(k-i)-m_2x(k)m_2x(i-j)　　(9)

　　由式(4)～式(9)可知, 零均值随机过程的二阶累计量、三阶累积量分别与它的二阶距、三阶矩相等,但更高阶的累积量与相应阶次的矩是不相等的。
　　零均值高斯随机过程x(n)的累积量有以下结论：c_1x=0,c_2x=σ²,c_kx≡0(k≥3)，即零均值高斯过程三阶以上(k≥3)的累积量恒等于零。以上假定高斯过程具有零均值并不失一般性,因为在实际应用中,非零均值随机时间序列可以通过减去其均值估计化为零均值序列。
　　高阶累积量有一个重要的性质，即两个统计独立随机过程之和的累积量等于这两个过程累积量之和。再由以上零均值高斯过程三阶以上累积量恒等于零的结论可知，当信号中含有加性高斯有色噪声时, 在理论上高阶累积量可以完全抑制噪声的影响, 从而提高信噪比。 本文用高阶统计量作为抑制噪声、提取齿轮故障信息的方法。经过大量试验研究发现，齿轮振动信号的四阶矩和四阶累积量可以有效地提取齿轮故障特征。

3　齿轮故障分类

　　我们在一台汽车齿轮箱上进行了大量试验，用加速度传感器从轴承座部位获取齿轮箱振动的加速度信号，分别测取齿轮正常及有裂纹和断齿时的信号各20组，利用高阶统计量对每组信号进行预处理，具体方法如下：对每组信号，分别计算其零滞后的四阶矩和四阶累积量的估计值，对得到的估计值进行归一化，使所有的值都在（0，1）区间内。然后取15组归一化后的统计量值作为RBF网络的输入样本，对网络进行训练。用另外5组数值作为测试样本。训练样本及其理想输出见表1，测试样本及其实际输出见表2,RBF网络和BP网络性能对照见表3。由表2可以看出故障分类的准确率是很高的。又由表3知，RBF网络的训练速度大大高于采用改进算法的BP网络，同样的训练样本，用常规BP算法迭代8000步，耗时370 s尚不能收敛于给定的误差0.01。

表1　训练样本及其理想输出

表2　测试样本及其实际输出

表3　RBF网络和BP网络性能比较

　　本文用高阶统计量作为预处理方法, 以RBF神经网络作分类器, 成功地将齿轮正常、裂纹和断齿的信号进行了分类，效果十分显著。由于零滞后的高阶统计量计算简单便捷，RBF网络训练速度快，逼近精度高，这种方法可用于齿轮箱在线状态监测, 识别齿轮箱运行状态的优劣。研究结果表明, 高阶统计量和RBF网络相结合，在机械故障诊断中是大有可为的。