用有限元法分析用有限元法分析异步电动机 -(2)

原作者:[标签:作者] 添加时间:2007-07-01 原文发表时间:2007-07-02 人气:1

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　　将x,y和逆系数矩阵的元素组合为新的位置函数，则可写成

(7)

式中　

它仅是位置的线性函数，而Δ代表三角形的面积。可通过下标的循环置换而获得，可以证明式（7）是三角形三个顶点的内插函数。

2.2 有限元的求极小值
　　泛函式（5）在非线性情况下的离散，基本上按照线性问题所采用的同样方法进行。假定问题的求解域D离散成一组互不重叠的有限单元，并着重考虑一个单元，在单个单元内，磁位A可用式（7）表示，借助于这一代换，W（A）就变成有限的有限元变量的普通函数，从而所需的求极小值过程简单的就是

(8)

式中　E₀——求解区域剖分的总单元数
　　　L₀——求解区域剖分的总节点数
即
式中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9)
将式（9）代入式（8）且将代入，则方程（8）变成短阵形式：

SA=J （10）

式中　A——节点磁位值向量
　　　J——电流密度列向量，各项为
　　　S——单元系数矩阵，包含下列各项

磁阻率υ是A值的函数，而且还与磁场相关。由于铁磁材料的饱和，故方程（8）是非线性方程组，对于空气介质中的单元，则按其材料及所在频率下的磁化曲线计算磁阻率。为了适用电子计算机计算，进行分段插值，实测的磁化曲线，如图1示。
　　从曲线拐弯处开始取曲线上25个节点Bi和对应的函数Hi(i=1,2,…,25), 由B和H构成拉格朗日多项式。

从而得

2.3 求解非线性方程组的牛顿迭代法
　　设A为所求的准确解，A^(k)表示一个不准确但却是适当接近A的估计值。

A^(k)=A-ΔA^(k)(11)

将W(A)梯度的每一个分量展开成A(k)附近的多元泰勒级数

（12）

若略去泰勒级数中超过第二项的各项
　　则方程（12）就提供了计算A^(k)对A的偏差的方法

ΔA=-P^-1V (13)

式中，P点牛顿迭代的雅可比矩阵，其元素

V是W(A)在A^(k)处的梯度

　　现假设由磁位A^(k)的某组初值A⁽⁰⁾出来构造迭代方法，并利用式（13）计算该初值对A的偏差，然后将此算得的偏差加到最初估计的磁位上去，以构成较好的估计值，A^{(k 1)}=A^(k) ΔA，并且重复这个过程，这样迭代格式

A^{(k 1)}=A^(k)-[P^(k)]^-1V^(k)

　　就产生了收敛于A的牛顿迭代序列。

3、具体计算
　　本分析方法对型号Y112M, 额定功率4kW四极三相异步电动机，用其几何参数在486PC微型计算机上计算。其计算流程如图2，求得该电动机在起动时的磁场分布，如图3示和空载运行时磁场分布，如图4示。

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图2　计算流程图

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图3　三相异步电动机起动时的磁场分布

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图4　三相异步电动机空载运行时的磁场分布

4、结果分析与验证
　　从电动机起动运行顿号空载运行两种工况分别所得磁场分布图，明显不同。在起动瞬间，转子电流频率等于定子电源频率。转子集肤效应显著，通过气隙进入转子的磁通，不能达到转子轭部，只能在槽表面部穿过。而电动机在空载运行时，滑差很小，转子电流频率很低，挤流效应很小。因此气隙磁通由齿槽穿过进入转子轭部，分布均匀。印证了电动机实际运行状况。我们还计算了该电动机起动转矩与转速特性，输入电流与转速特性，计算值与进行规范性实验所得特性曲线符合，如图5示。可以看出，用有限元法分析计算准确可靠。

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