式中忽略了x的高次幂项。
　　由此可得X向固有频率：
　　 （16）

4　Z向微位移机构

　　Z向微位移机构可以简化为如图3所示的对称八杆机构。实际的结构为两个八杆机构相关联。由于结构的对称性，当在Z方向有微位移时，也不会在其垂直方向上产生耦合位移。

图3　Z向微位移机构简图

4.1　Z向静态刚度
　　由图3所示几何关系有(a-n)² (d m)²=a² d²，而微驱动器位移I＝2m，微位移机构输出位移Z＝2n，代入上式，并将其表达为Z对I的函数，再展开为马特劳林级数，略去高阶微量，最后得：
　　 (17)

　　八杆机构在驱动力的作用下，仅在柔性铰链处产生弹性弯曲变形，每个柔性铰链存储的弹性能为，驱动力作功为，由功能原理有W=8u可得Z向微位移机构刚度为：
　　

(18)

4.2　Z向固有频率
　　并联八杆系统的动能：
　　T＝T₁＋T₂＋T₃＋T₄
　　T₁为输入杆的动能：
　　
　　T₂为输出杆的动能：
　　
　　T₃为连杆的动能：
　　
　　T₄为驱动器的动能：
　　
式中：m₁，m₂，m₃，m₀——输入杆、输出杆、连杆和驱动器的质量；
　　　J_Z——连杆对质心的转动惯量。
　　系统的势能为：
　　
　　以Z为广义坐标代入拉格朗日的方程有：
　　

（19）

　　Z向固有频率为：
　　

（20）

5　电致伸缩驱动器

　　在外电场的作用下，电介质晶体分子发生极化现象，或偶极子取向排列等因素引起电介质微观发生变化，使电介质产生应力和应变。
　　对晶体而言，有数学表达式：
　　x＝ME²

(21)

式中：x=(x₁，x₂，…，x₆)^T为应变；
　　　
　　E²＝（E²₁，E²₂，E²₃，E₂E₃，E₃E₁，E₁E₂）^T　E_i为电场强度。
　　微位移机构以电致伸缩器件为驱动器，只在一个方向施加电场强度，则有：
　　x₁=M₁₁E²₁

6　隔振器

　　以电致伸缩器件为驱动器，以柔性铰链为弹性支承，可以实现微位移。然而，外界环境的振动会耦合到微位移机构，其振幅往往淹没微位移。为了使微位移机构可靠地工作，就必须有效地隔离振源。
　　在微位移操作器基座与机架之间安装了减振弹簧和阻尼缸。微位移操作器、压缩弹簧和阻尼缸一起构成了质量弹簧阻尼系统。由于外界环境的振动对微位移操作器的影响主要以低频振动为主，因而隔振系统的设计主要消减低频振动。

7　微位移操作器

　　图4为最终设计的三维微位移操作器。操作器基座通过弹簧阻尼系统联接在机架上。操作器两侧为Z向微位移机构，两套并联的微位移机构具有平均作用。顶部为X、Y向微位移机构。三维微位移操作器为整体性结构，由65Mn弹簧钢经精加工制成。淬火处理硬度为HRC45。WTD－1A型电致伸缩位移驱动器作为各方向微位移机构驱动器。三个方向的微位移最大值可达15 μm，分辨率为0.1μm。

1.隔振弹簧　2.Z向PZT　3.X向PZT　4.Y向PZT
图4　微位移操作器

8　结论

　　本文提出了一种三维微位移操作器。操作器以电致伸缩器件为驱动器，以柔性铰链为弹性支承。X、Y方向微位移机构采用双侧平行四杆机构，而Z向微位移机构采用八杆对称机构。这种微位移操作器充分考虑了制造工艺和装配工艺的要求，具有工程应用意义。

选自《机械设计》