如图4所示，在加工过程中某数控加工程序段表示的刀具中心位置坐标、刀轴方位角度坐标以及补偿方向单位向量为 ，刀具与加工表面切触于点 ，进给方向垂直纸面向里，刀具底沿在纸面的投影为一椭圆。图4中实线表示编程使用的刀具，半径为Rp，点划线表示实际加工时所用的刀具，半径为R。显然当R=Rp时刀具底沿与理论加工表面切触于C，无须进行半径补偿而直接进行长度补偿计算主轴端点位置坐标即可。但是若RRP时，则必须先进行半径补偿，半径补偿的目的是要让实际加工刀具的底沿仍与理论加工表面切触于C。图5中虚线表示刀具沿补偿方向进行补偿后刀具的位置。

定义：将由编程刀具中心位置即指向刀具半径补偿后实际加工刀具中心的矢量称为刀具半径补偿向量，用Vr表示。

由刀具半径补偿向量定义可得

式(2)中｛ip，jp，kp｝在程序段中已给出，为已知，由式(1)和式(2)可以很容易求得刀具半径补偿向量Vr为

由式(3)和式(4)可得到刀具半径补偿后实际加工刀具中心O的坐标分别为

因为刀具半径补偿不能改变刀具姿态，也就是补偿前后刀具轴向方位角不变，刀具只是沿Vr平移，插补预处理时只需将得到的主轴端点坐标做平移变换即可。

四、五轴刀具长度补偿

ISO 6983标准中规定了刀具旋转的角度，从而也就能确定出刀具的轴向向量，因此刀具长度补偿仍然有效，长度补偿的方向即为刀具的轴向向量。从编程方面看，无论采用哪种编程得到的数控加工程序，CNC控制器中刀具长度补偿功能对最后的加工结果都非常重要。如果刀具中心编程得到的数控程序不经过长度补偿得到主轴端点坐标，则数控系统会将刀具中心点误认为是主轴端点，加工结果可想而知，如图5a所示。主轴端编程是根据编程中使用的刀具长度计算出来的主轴端点的运动轨迹。实际加工时，必须保证刀具长度与编程时刀具长度相等。一旦刀具长度发生改变，

则刀具中心点不可能到达编程时的刀具中心，因此也需要对刀具长度变化进行补偿。如图5b所示为主轴端编程时刀具长度补偿前后对加工结果的影响。以下将讨论图5a所示刀具中心编程中的刀具长度补偿。

图5a中假定加工刀具长度为l，刀具半径补偿后的刀具中心位置坐标及刀轴方位角度坐标分别为(x,y,z,ap,cp)，要求的是主轴端点坐标(xs,ys,zs)。问题关键在于刀具轴向单位向量T的求解。如图2可知，初始状态下，刀具竖直向下且平行于机床坐标系的Z轴，即T0={0,0,1}。刀具分别绕X轴和Z轴旋转ap和cp角后刀轴单位向量为T，由坐标变换原理有

由式（6）可得

主轴端点坐标可由下式确定

综合式（5）和式（8）可得图2所示结构形式的五轴联动数控机床采用刀具中心点编程时经刀具半径和长度补偿后的刀具主轴端点坐标表示为

将式（9）中的位置坐标和摆角坐标(ap,cp)输入插补模块即可使刀具中心按照编程轨迹运行。

五、结语

基于刀具补偿功能在五轴数控加工中的重要性，本文在分析现行编程标准对于实现刀具半径补偿功能不足的基础上，通过引入刀具半径补偿向量讨论了图2所示结构形式的五轴联动数控机床的刀具长度和半径补偿的实现。对于其他形式的机床可以通过类似的方法分别实现刀具半径补偿和长度补偿。